AlMaGo · Spickzettel

Merksatz: Gleiche Zeichen ergeben Plus, verschiedene Zeichen ergeben Minus (gilt beim Mal- und Geteiltrechnen).

• + · + = +
  Plus mal Plus gibt Plus.
  z.B. 3 · 4 = 12
• − · − = +
  Minus mal Minus gibt Plus. Zwei Minus «heben sich auf».
  z.B. (−3) · (−4) = 12
• + · − = −
  Verschiedene Zeichen geben Minus.
  z.B. 3 · (−4) = −12
• a − (−b) = a + b
  Minus eine Minus-Zahl wird zu Plus.
  z.B. 5 − (−2) = 5 + 2 = 7
• Punkt vor Strich
  Zuerst mal und geteilt, dann plus und minus. Klammern immer zuerst.
  z.B. 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

Ein Bruch ist eine Geteilt-Rechnung: 3/4 heisst 3 : 4.

• a/b + c/b = (a+c)/b
  Gleiche Zahl unten? Dann nur die oberen Zahlen zusammenzählen. Unten bleibt gleich.
  z.B. 1/5 + 2/5 = 3/5
• Verschiedene Nenner
  Zuerst beide Brüche auf die gleiche untere Zahl bringen, dann zusammenzählen.
  z.B. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
• a/b · c/d = ac/bd
  Mal rechnen: oben mal oben, unten mal unten.
  z.B. 2/3 · 4/5 = 8/15
• a/b : c/d = a/b · d/c
  Geteilt rechnen: den zweiten Bruch umdrehen und dann mal rechnen.
  z.B. 1/2 : 3/4 = 1/2 · 4/3 = 4/6 = 2/3
• Kürzen
  Oben und unten durch dieselbe Zahl teilen. Der Wert bleibt gleich.
  z.B. 6/8 → beide durch 2 → 3/4

Klammer auflösen heisst: Die Zahl vor der Klammer wird mit JEDEM Teil darin verrechnet.

• a(b + c) = ab + ac
  Die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil mal nehmen.
  z.B. 3(x + 2) = 3x + 6
• −(a − b) = −a + b
  Minus vor der Klammer dreht ALLE Zeichen darin um.
  z.B. −(x − 4) = −x + 4
• (a+b)² = a² + 2ab + b²
  Erste Zahl hoch 2, plus 2-mal beide zusammen, plus zweite Zahl hoch 2. Den Mittelteil nicht vergessen!
  z.B. (x+3)² = x² + 6x + 9
• (a−b)² = a² − 2ab + b²
  Wie oben, nur der Mittelteil hat ein Minus.
  z.B. (x−3)² = x² − 6x + 9
• (a+b)(a−b) = a² − b²
  Plus-Klammer mal Minus-Klammer: Der Mittelteil fällt weg.
  z.B. (x+3)(x−3) = x² − 9

Stell dir eine Waage vor: Was du links machst, musst du auch rechts machen – dann bleibt sie im Gleichgewicht. Ziel: x steht alleine da.

• Gegenteil anwenden
  + wird mit − weggemacht, · mit : (und umgekehrt).
  z.B. x + 5 = 8 | −5 → x = 3
• Reihenfolge
  1. Klammern auflösen 2. alle x auf eine Seite 3. Zahlen auf die andere 4. durch die Zahl vor x teilen.
  z.B. 2x + 4 = 10 → 2x = 6 → x = 3
• Probe
  Lösung oben einsetzen. Stimmt es links und rechts? Dann ist es richtig.
  z.B. 2 · 3 + 4 = 10 ✓

Potenz = Abkürzung für «mehrmals mit sich selbst mal nehmen». Wurzel = die Umkehrung.

• aⁿ
  a so oft mit sich selbst mal nehmen, wie die kleine Zahl sagt.
  z.B. 3² = 3 · 3 = 9
• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  Gleiche Zahl unten, mal rechnen → die kleinen Zahlen zusammenzählen.
  z.B. 2² · 2³ = 2⁵ = 32
• aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  Gleiche Zahl unten, geteilt rechnen → die kleinen Zahlen abziehen.
  z.B. 2⁵ : 2² = 2³ = 8
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  Potenz von einer Potenz → die kleinen Zahlen mal nehmen.
  z.B. (2²)³ = 2⁶ = 64
• a⁰ = 1
  Alles hoch 0 gibt 1 (ausser 0 selbst).
  z.B. 7⁰ = 1
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  Minus in der kleinen Zahl heisst: als Bruch unten hinschreiben.
  z.B. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
• √a
  Welche Zahl mal sich selbst gibt a?
  z.B. √25 = 5, weil 5 · 5 = 25
• (−3)² ≠ −3²
  Mit Klammer gehört das Minus dazu, ohne Klammer nicht.
  z.B. (−3)² = 9, aber −3² = −9